48e Colloque international
des Professeurs et Formateurs de Mathématiques
chargés de la Formation des Maîtres

Représenter et modéliser en mathématiques : de l'activité des élèves
à la formation des professeurs des écoles

Mardi 14, mercredi 15 et jeudi 16 juin 2022
à Toulouse.

Cadrage scientifique :

Depuis les programmes entrés en vigueur en septembre 2015, l’enseignement des mathématiques doit contribuer au « développement de six compétences majeures : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer ». La compétence modéliser fait, entre autres, référence à la résolution de « problèmes concrets » (cycle 2) ou de « problèmes issus de situations de la vie quotidienne » (cycle 3).
Une récente note de service (Ministère Education Nationale, 2018) explicite les difficultés des élèves à modéliser : « l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues. » et préconise « d'introduire des représentations, sous forme de schémas bien adaptés, permettant la modélisation des problèmes proposés ». C’est ainsi qu’au cycle 2, il est fait état pour la compétence représenter de « différents systèmes de représentations (dessins, schémas, arbres de calcul, etc.) » alors qu’au cycle 3 il s’agit d’«utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc. »
L’intérêt pour l’activité de modélisation dans la classe de mathématiques n’est pas nouveau en didactique des mathématiques (Chevallard, 1989 ; Blum et al., 2007) et les colloques de la COPIRELEM en 2006 à Dourdan et en 2007 à Troyes portaient sur la question de l’expérimentation et de la modélisation dans l’enseignement scientifique. Cependant, un certain attrait pour le « modèle en barres » utilisé dans la « méthode de Singapour » et présenté en exemple dans la note de service de 2018, incite à s’intéresser à l’articulation modéliser-représenter.
Pour Colette Laborde (1992) :
« Une modélisation met en jeu une certaine abstraction du domaine de réalité concerné en ne retenant de ce dernier qu'un certain ensemble d'objets et de relations qui sont représentés dans le modèle. Le modèle ne rend compte que d'une partie du domaine de réalité...A chaque modèle est donc attaché un domaine de fonctionnement dans le domaine de réalité dépendant des objets et relations retenus par la modélisation. ...Un modèle fournit aussi une représentation du système d'objets et de relations retenus pour la modélisation ou encore, pour prendre une image plus parlante, une incarnation de ce système dans un support d'expression... Mais toute interprétation issue du support ne donne pas une information nécessairement valide sur le domaine de réalité. On peut ainsi délimiter un domaine d'interprétation à l'intérieur du support du modèle. »
La question de l’articulation des compétences modéliser et représenter est ainsi posée : est-ce le modèle qui fournit une représentation ? Peut-on considérer une représentation comme un modèle ? Les changements de registres dans le cadre de l’activité mathématique relèvent-ils d’un travail de modélisation ou sont-ils seulement des changements de représentation ?
Les chercheurs qui s’intéressent à l’enseignement des problèmes reposant sur une modélisation d’un domaine extra-mathématique utilisent diverses schématisations pour rendre compte de la façon dont les modèles sont construits et utilisés (Perrenet et Zwaneveld, 2012). En particulier le choix d’une schématisation du processus de modélisation peut rendre compte de ce qui est l’enjeu d’apprentissage dans une situation d’enseignement (Maaß, 2006), pour autant que les processus de modélisation soient perçus par l’enseignant comme objet de savoir à enseigner. La schématisation du cycle de modélisation de Blum et Borroméo Ferri (2009), par exemple, est une version développée de celle utilisée par les concepteurs des évaluations PISA (2006). Cependant, l’activité de modélisation se limite-t-elle à la prise en charge d’un domaine de réalité extra-mathématique ?
Si un modèle mathématique est un ensemble de relations qui représentent une situation (un système) et facilitent son étude grâce à des outils et des techniques mathématiques, alors toute activité conduisant à la conception d’un modèle, est une activité de modélisation. La modélisation mathématique ne se limite donc pas à la résolution de problèmes dont le contexte est extra-mathématique. Les processus de modélisation comprennent un ensemble de savoirs mathématiques à connaître pour étudier certains types de problèmes et une démarche dont les différentes étapes sont aussi importantes que la réponse au problème. La résolution de problèmes pose la question de la validité des réponses apportées : outre la vérification de la vraisemblance du résultat, le travail de modélisation est là pour apporter des éléments de mise à l’épreuve, par la production de modèles concurrents et complémentaires.
L’importance accordée à la résolution de problèmes et à la modélisation n’est pas spécifique à la France. Elle s’inscrit dans un mouvement de changement curriculaire international (Barquero et al., 2018) sous l’influence des évaluations internationales telles que TIMSS ou PISA et l’impulsion de recommandations européennes (Rocard et al., 2007). Il semble qu’un changement de paradigme scolaire (Wozniak, 2019) soit à l’œuvre qui fasse de la modélisation autant un objet d’enseignement qu’un processus d’enseignement.
C’est dans ce contexte que le 48e colloque de la COPIRELEM s’intéresse aux compétences Représenter et modéliser en mathématiques, de l’activité des élèves à la formation des professeurs des écoles.
Le colloque de la COPIRELEM 2022 abordera quelques-unes des nouvelles questions qui se posent aux enseignants et aux formateurs : Pourquoi et comment enseigner le processus de modélisation ? Quels sont les savoirs à enseigner ? Comment former les enseignants au processus de modélisation ? Comment s’articulent les compétences modéliser et représenter ? Comment enseigner la diversité des représentations des objets mathématiques comme les nombres, les figures ou les solides ? Quelle place pour la représentation et l’organisation des données ?
Les propositions de communications ou ateliers aborderont l’une de ces questions et pourront adopter le point de vue des savoirs en jeu, des apprentissages des élèves, des pratiques ou de la formation des professeurs.
Les conférenciers invités sont Berta Barquero (université de Barcelone) qui présentera une formation des enseignants à la modélisation en Espagne, Annick Fagnant (université de Liège) qui abordera la question des représentations et des schémas en résolution de problèmes, Thomas de Vittori (université de Lille) qui présentera un point de vue épistémologique sur la dialectique représenter/modéliser dans le domaine de la géométrie. Richard Cabassut évoquera à travers son expérience, la prise en compte des contraintes des systèmes didactiques pour répondre à une commande institutionnelle à partir de l’exemple de la représentation et de la modélisation en résolution de problèmes arithmétiques.

Ouvertures aux autres disciplines scientifiques :

Dans le contexte de déclaration d’un socle commun, la proposition d’ateliers ou communications liées à d’autres sciences est possible dans la mesure où elles engagent, ne serait-ce que sous forme de questions, une comparaison avec les mathématiques et la didactique des mathématiques.